Diverticulose está mais relacionada ao cólon. Melena é uma sinal TGI (trato gastrointestinal) alto. Isso significa esôfago, estômago e intestino delgado. Sugiro uma avaliação inicial para confirmação do sinal e possível etiologia.

Não há um tempo exato de medicação, depende de vários fatores. É muito importante saber se há infecção por Helicobacter pylori. Se houver, o tratamento com antibióticos varia em média de 7 a 14 dias. Podem ser adotados vários regimes (formas) de tratamento com antibiótico, dependendo de cada caso. Na maioria dos casos, o tratamento inicial é capaz de eliminar o Helicobacter em 80-85% das vezes.

Ressalto que não é possível tratar pacientes à distância e sem a avaliação adequada. Os dados que lhe dei são genéricos.
É recomendado o tratamento com Médico(a) de sua confiança, de preferência experiente nesse tipo de tratamento.

Os sintomas mais comuns são queimação atrás do peito e líquido que volta para a garganta ou mesmo boca. O líquido geralmente tem gosto ácido. Pode, às vezes, ser amargo. Pode haver sintomas atípicos como dor no peito (que parece dor de origem cardíaca) e mesmo dor de garganta constante (faringite ou laringite). Pode haver relação com outras doenças, como asma e sinusite crônicas.
Mais raramente, pode haver sensação de "bolo na garganta", dor ou dificuldade para engolir (odinofagia ou disfagia).
Para o diagnóstico adequado o médico pode fazer vários exames e o mais comum no Brasil é a Endoscopia Digestiva. É um exame seguro e indolor, quando feito por médicos experientes.
A partir do diagnóstico adequado, pode-se tratar.

Ressalvo que esta é uma explicação genérica e que não é possível diagnosticar ou tratar pacientes à distância.

Bom dia. Consulte um hepatologista.

Bom dia. Necessário estabelecer a causa da dor.